Question

【題目】已知圓C1：與y軸交于O,A兩點，圓C2過O，A兩點，且直線C2O恰與圓C1相切；

（1）求圓C2的方程。

（2）若圓C2上一動點M，直線MO與圓C1的另一交點為N，在平面內是否存在定點P使得PM=PN始終成立，若存在，求出定點坐標，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且為．

【解析】

試題分析：（1）由圓方程求得它與軸交點坐標，可設圓的一般方程，利用O，A在圓上可得，這樣可寫出圓心坐標，利用切線即可求得；（2）如果存在，則在線段的中垂線上，假設直線方程為，與兩圓方程聯立可解得坐標，求出線段的垂直平分線的方程，由直線方程觀察它是否過一個定點，如果過定點就是所要求的點．

試題解析：（1）O（0，0），A（0，4），設圓C2的方程為，易得F=0，E=-4.故C2（-），由C2O⊥C1O得D=2，故圓C2的方程為。

（2）存在，設MN直線方程為y=kx，分別與圓C1、圓C2聯立

與求得M（，），

N（，），中點H（，），中垂線方程為：

，化簡為：

恒過定點（3，4）即為所求點P。