Question

【題目】已知函數f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e為自然對數的底數，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的導函數，函數f′（x）在區間（0，1）內有兩個零點，則a的取值范圍是（ ）
A.（e2﹣3，e2+1）
B.（e2﹣3，+∞）
C.（﹣∞，2e2+2）
D.（2e2﹣6，2e2+2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（1）=0，∴e2﹣a﹣b﹣1=0，即b=e2﹣a﹣1， ∴f（x）=e2x﹣ax2+（e2﹣a﹣1）x﹣1，
∴f′（x）=2e2x﹣2ax+e2﹣a﹣1，
令f′（x）=0得2e2x=2ax+a+1﹣e2 ，
∵函數f′（x）在區間（0，1）內有兩個零點，
∴y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數圖象在（0，1）上有兩個交點，
作出y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數圖象，如圖所示：

當a+1﹣e2≥2即a≥e2+1時，直線y=2ax與y=2e2x最多只有1個交點，不符合題意；
∴a+1﹣e2＜2，即a＜e2+1，
排除B，C，D．
故選A．
利用f（1）=0得出a，b的關系，根據f′（x）=0有兩解可知y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數圖象在（0，1）上有兩個交點，做出兩函數圖象，根據圖象判斷a的范圍．