Question

【題目】遞增數列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整數組成，它們要么是3的冪要么是若干個不同的3的冪的和.求第2014項的值.

Answer 1

【答案】88329

【解析】

記此數列為.則.

用二進制表示項的序號n，三進制表示項，

，

，

，

，

，

，

，

.

由題意，知的三進制表示各位僅可取0、1兩個值且單調遞增，由此可猜測當時，.

接下來用數學歸納法證明.

假設當時，命題成立.

則當時，其中，，必有整數，使且.

故.

于是，.

由假設得，它是若干不同的3的冪之和且小于的最大值.

由單調遞增知

，

其中，.

則，

且仍為中某一項（當然）.

于是，即

.

故 .

另一方面，，

當然，可表示為若干個互不相同的3的冪之和，故存在，使.

從而，.

而，于是，，即.

因此，.

這導致.

故當時，命題仍成立.

因為，所以，

.