Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xln（1+x）﹣a（x+1），其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：

則 ，

令

∵x∈[1，+∞），∴h'（x）＞0

即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增

∴ ，

∴a的取值范圍是

（2）解：由（1）知

則

①當(dāng)a＞1，x∈（﹣1，a﹣2）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（﹣1，a﹣2）上單調(diào)遞減，

x∈（a﹣2，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上單調(diào)遞增

②當(dāng)a≤1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）的增區(qū)間為（a﹣2，+∞），減區(qū)間為（﹣1，a﹣2）

當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）的增區(qū)間為（﹣1，+∞）

【解析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，將a分類出來(lái)得則 ，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右式函數(shù)的最小值即可；（2）先求出函數(shù)g（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)g'（x），討論a與1的大小，從而確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．