【題目】已知函數
（1）討論
的單調性；
（2）當
時，
，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．對a分類討論，即可得出單調性．
（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，當x=-1時，0≤-
+1恒成立．當x＞-1時，a
令g（x）=
，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．
解法一：（1）
①當
時，
|
| -1 |
|
| - | 0 | + |
| ↘ | 極小值 | ↗ |
所以
在
上單調遞減，在
單調遞增.
②當
時，
的根為
或
.
若
，即
，
|
| -1 |
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以在，
上單調遞增，在
上單調遞減.
若
，即
，
在
上恒成立，所以在上單調遞增，無減區間.
若
，即
，
|
|
|
| -1 |
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以在
，上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上：
當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；
自時，在上單調遞增，無減區間；
當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.
（2）因為
，所以
.
當時，
恒成立.
當
時，
.
令
，
，
設
，
因為
在
上恒成立，
即
在上單調遞增.
又因為
，所以在
上單調遞減，在
上單調遞增，
則
，所以
.
綜上，
的取值范圍為
.
解法二：（1）同解法一；
（2）令
，
所以
，
當時，
，則
在
上單調遞增，
所以
，滿足題意.
當
時，
令
，
因為
，即在上單調遞增.
又因為
，
，
所以
在
上有唯一的解，記為
，
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| ↘ | 極小值 | ↗ |
，滿足題意.
當
時，
，不滿足題意.
綜上，的取值范圍為.
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，由一塊扇形空地
，其中
，
米，計劃在此扇形空地區域為學生建燈光籃球運動場，
區域內安裝一批照明燈，點
、
選在線段
上（點、分別不與點
、
重合），且
.
（1）若點在距離點
米處，求點、之間的距離；
（2）為了使運動場地區域最大化，要求面積盡可能的小，記
，請用
表示的面積
，并求的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某課題小組共10人，已知該小組外出參加交流活動次數為1，2，3的人數分別為3，3， 4，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．
（1）記“選出2人外出參加交流活動次數之和為4”為事件A，求事件A發生的概率；
（2）設X為選出2人參加交流活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知復數z滿足|z|=
的虛部為2，z所對應的點在第一象限，
(1)求z;
(2)若z,z2,z-z2在復平面上對應的點分別為A,B,C,求cos∠ABC.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校計劃舉辦“國學”系列講座．由于條件限制，按男、女生比例采取分層抽樣的方法，從某班選出10人參加活動，在活動前，對所選的10名同學進行了國學素養測試，這10名同學的性別和測試成績（百分制）的莖葉圖如圖所示．
（1）分別計算這10名同學中，男女生測試的平均成績；
（2）若這10名同學中，男生和女生的國學素養測試成績的標準差分別為S1，S2，試比較S1與S2的大小（不必計算，只需直接寫出結果）；
（3）規定成績大于等于75分為優良，從這10名同學中隨機選取一男一女兩名同學，求這兩名同學的國學素養測試成績均為優良的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有7位歌手（1至7號）參加一場歌唱比賽, 由550名大眾評委現場投票決定歌手名次, 根據年齡將大眾評委分為5組, 各組的人數如下:
組別 | A | B | C | D | E |
人數 | 50 | 100 | 200 | 150 | 50 |
（Ⅰ） 為了調查大眾評委對7位歌手的支持狀況, 現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委, 其中從B組中抽取了6人. 請將其余各組抽取的人數填入下表.
