Question

【題目】已知復數z滿足|z|= 的虛部為2，z所對應的點在第一象限，

(1)求z;

(2)若z,z2,z-z2在復平面上對應的點分別為A,B,C,求cos∠ABC.

Answer 1

【答案】(1) z=1+i.

(2)

【解析】分析：（1）設z=x+yi(x,y∈R)，根據題意得到x,y的方程組，即得z.(2)先求z,z2,z-z2在復平面上對應的點，再利用向量的夾角公式求cos∠ABC.

詳解：(1)設z=x+yi(x,y∈R).

∵|z|

∴x2+y2=2. ①

又z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,

∴2xy=2,∴xy=1. ②

由①②可

∴z=1+i或z=-1-i.

又x>0,y>0,

∴z=1+i.

(2)z2=(1+i)2=2i,

z-z2=1+i-2i=1-i.

如圖所示,

∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

∴cos∠ABC