Question

【題目】為了保證食品的安全衛生，食品監督管理部門對某食品廠生產甲、乙兩種食品進行了檢測調研，檢測某種有害微量元素的含量，隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品，每個批次各隨機地抽取了一件，下表是測量數據的莖葉圖(單位:毫克).規定:當食品中的有害微量元素的含量在時為一等品，在為二等品，20以上為劣質品.

（1）用分層抽樣的方法在兩組數據中各抽取5個數據，再分別從這5個數據中各選取2個，求抽到食品甲包含劣質品的概率和抽到食品乙全是一等品的概率；

（2）在概率和統計學中，數學期望（或均值）是基本的統計概念，它反映隨機變量取值的平均水平.變量的一切可能的取值與對應的概率乘積之和稱為該變量的數學期望，記為.

參考公式：變量的取值為，對應取值的概率，可理解為數據出現的頻率，

.

①每生產一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質品虧損20元，根據上表統計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質品的頻率，分別估計這兩種食品為一等品、 二等品、劣質品的概率，若分別從甲、乙食品中各抽取1件,求這兩件食品各自能給該廠 帶來的盈利期望.

②若生產食品甲初期需要一次性投入10萬元，生產食品乙初期需要一次性投人16 萬元，但是以目前企業的狀況，甲乙兩條生產線只能投資其中一條.如果你是該食品廠負責人，以一年為期限，盈利為參照，請給出合理的投資方案.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①.答案見解析；②.答案見解析.

【解析】分析：（1）利用列舉法從個數據中各選取個，共有種選法，其中抽到食品甲包含劣質品有種,抽到食品乙全是一等品的有種，由古典概型概率公式可得結果；（2）①利用統計圖能求出分別從甲、乙食品中各抽取件，這兩種食品各自能給該廠帶來的盈利期望，；②假設一年都生產件甲和乙，則甲的利潤函數為，則乙的利潤函數為. 當時，；當時，，由此能求出結果.

詳解：（1) 用分層抽樣方法抽到食品甲是一等品、二等品、劣質品的樣本個數分別為，

抽到食品乙是一等品、二等品、劣質品的樣本個數分別為3，1，1，

記為，

食品甲 5 個樣本抽取 2 個有共 10 種，

包含劣質品的有共4種.

∴.

食品乙 5 個樣本抽取 2 個有共 10 種，

全是一等品的有共3種.

∴.

（2）①元

元

②假設一年都生產件甲和乙，

則甲的利潤函數為，

則乙的利潤函數為.

當時，；

當時，，

即年產量小于10000件時投資甲生產線，

等于10000件時投資兩條生產線一樣，

大于10000件時投資乙生產線.