Question

【題目】已知函數（，常數）．

（1）當時，討論函數的奇偶性并說明理由；

（2）若函數在區間上單調，求正數的取值范圍；

（3）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數是偶函數，詳見解析

（2）正數的取值范圍為

（3）實數的取值范圍為

【解析】

(1)利用定義法求的單調性;

(2)根據復合函數單調性性質,原題可以轉變為在區間上單調,從而研究的單調性,即可得出結論;

(3)當時,不等式恒成立,當時,將題設不等式轉化為對任意恒成立,然后分別確定的最大值和最小值即可得出結論.

(1)當時,,是偶函數,理由如下:

的定義域為,而,

因此當時是偶函數;

(2)令(),

因為在區間上單調,且在定義域上單調遞增,

所以在區間上單調,

又,

其單調遞減區間為,

所以,即;

(3)不等式對任意恒成立,

即對任意恒成立,

①當時,不等式恒成立;

②當時,則有對任意恒成立,

設,則其在上單調遞增,故,

設,則其在上單調遞減,故,

所以;

綜上所述,實數的取值范圍為.