Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合,過(guò)直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過(guò)定點(diǎn)；并出求定點(diǎn)的坐標(biāo).
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？(點(diǎn)為直線恒過(guò)的定點(diǎn))若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（I）；（II）直線AB恒過(guò)定點(diǎn)。
（III）存在實(shí)數(shù)，使得。

試題分析：（I）設(shè)橢圓方程為。拋物線的焦點(diǎn)是，故，又，所以，
所以所求的橢圓方程為            3分
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)。
則切線方程分別為，。
又兩切線均過(guò)點(diǎn)M，即，即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程，
而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，
顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1,0）都適合這個(gè)方程，故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)。  6分
（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得
，即
所以       ..8分
不妨設(shè)
，同理  10分
所以

即。
故存在實(shí)數(shù)，使得。           12分
點(diǎn)評(píng)：難題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。對(duì)于存在性問(wèn)題，往往先假設(shè)存在，利用已知條件加以探究，以明確計(jì)算的合理性。本題（III）通過(guò)假設(shè)，利用韋達(dá)定理進(jìn)一步確定相等長(zhǎng)度，求得了的值，達(dá)到證明目的。