Question

如圖，設拋物線（）的準線與軸交于，焦點為；以、為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.

（1）當時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線經過橢圓的右焦點，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關系，并說明理由；
（3）是否存在實數，使得的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）即點可在圓內，圓上或圓外
（3）時，能使的邊長是連續的自然數

解：∵的右焦點  ∴橢圓的半焦距，又，
∴橢圓的長半軸的長，短半軸的長.  橢圓方程為.
（1）當時，故橢圓方程為， 3分
（2）依題意設直線的方程為：，
聯立 得點的坐標為.
將代入得.
設、，由韋達定理得，.
又，.


∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。
即點可在圓內，圓上或圓外.   ………………………………9分
（3）假設存在滿足條件的實數，  由解得：.
∴，，又.
即的邊長分別是、、 . ∴時，能使的邊長是連續的自然數。 14分
點評：解決該試題的關鍵是熟練的運用橢圓的簡單幾何性質來求解參數a,b,c的值，得到方程，并利用聯立方程組的思想求解弦長，拋物線的定義是解決的關鍵點。屬于基礎題。