Question

【題目】已知函數，在區間上有最大值，有最小值，設．

（1）求的值；

（2）不等式在時恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）根據在上的單調性，結合最大值和最小值，得到關于的方程組，解得的值；（2）先得到的解析式，根據，令，得到恒成立，從而得到的取值范圍；（3）設，然后方程可化為，根據的圖像，得到方程的根的取值要求，由根的分布得到關于的不等式組，解得的取值范圍.

（1）

開口向上，對稱軸為，

所以在上單調遞增，

因為在區間上有最大值8，有最小值2，

所以有，即

解得，

（2），所以，

因為，令

由不等式在時恒成立，

得在時恒成立，

則，即

因為，則，所以

所以得.

（3）設，則方程

可轉化為，即

整理得

根據的圖像可知，方程要有三個不同的實數解，

則方程的要有兩個不同的實數根

一根在之間，一根等于，或者一根在之間，一根在，

設

①一根在之間，一根等于時，

，即，

解得，所以無解集

②一根在之間，一根在時，

，即，

解得，所以.

綜上所述，滿足要求的的取值范圍為.