Question

【題目】已知焦點在x軸上，中心在坐標原點的橢圓C的離心率為 ，且過點（ ，1）． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l分別切橢圓C與圓M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B兩點，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為 ，則 ， a， ∴ ，
∵橢圓過點 ，∴ ，解得 a2=25，b2=9，
故橢圓C的方程為
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點，
直線AB的方程為y=kx+m，因為A既在橢圓上，又在直線AB上，
從而有 ，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0，
由于直線與橢圓相切，
故△=（50kmx）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0，從而可得：m2=9+25k2 ， ①，x1= ，②
由 ．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0，
由于直線與圓相切，得m2=R2（1+k2），③，x2= ，④
由②④得：x2﹣x1= ，由①③得：k2= ，
∴|AB|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（1+k2）（x2﹣x1）2
= =

即|AB|≤2，當且僅當R= 時取等號，所以|AB|的最大值為2
【解析】（Ⅰ）設出橢圓的方程，根據離心率及橢圓過點（ ，1）求出待定系數，即得橢圓的方程．（Ⅱ）用斜截式設出直線的方程，代入橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系，化簡|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．