Question

【題目】設函數f（x）=（x+b）lnx，g（x）=alnx+ ﹣x（a≠1），已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直．
（1）求b的值；
（2）若對任意x≥1，都有g（x）＞ ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線x+2y=0的斜率為﹣ ，

可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2，所以f′（1）=2，

又f′（x）=lnx+ +1，即ln1+b+1=2，所以b=1

（2）解：g（x）的定義域為（0，+∞），

g′（x）= +（1﹣a）x﹣1= （x﹣1）．

①若a≤ ，則 ≤1，故當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調遞增．

所以，對任意x≥1，都有g（x）＞ 的充要條件為g（1）＞ ，即 ﹣1＞ ，

解得a＜﹣ ﹣1或 ﹣1＜a≤

②若 ＜a＜1，則 ＞1，故當x∈（1， ）時，g′（x）＜0；

當x∈（0，1），（ ，+∞）時，g′（x）＞0．

f（x）在（1， ）上單調遞減，在（0，1），（ ，+∞）上單調遞增．

所以，對任意x≥1，都有g（x）＞ 的充要條件為g（x）＞ ．

而g（x）=aln + + ＞ 在 ＜a＜1上恒成立，

所以 ＜a＜1）

③若a＞1，g（x）在[1，+∞）上遞減，不合題意．

綜上，a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ﹣1）∪（ ﹣1，1）

【解析】（1）求出函數導數，由兩直線垂直斜率之積為﹣1，解方程可得b；（2）求出導數，對a討論，①若a≤ ，則 ≤1，②若 ＜a＜1，則 ＞1，③若a＞1，分別求出單調區間，可得最小值，解不等式即可得到所求范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．