Question

【題目】已知函數 ， ，其中e為自然對數的底數．
（1）求函數 在x 1處的切線方程；
（2）若存在 ，使得 成立，其中 為常數，
求證： ；
（3）若對任意的 ，不等式 恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）因為 ，所以 ，故 ．

所以函數 在x 1處的切線方程為 ，

即 ．

（2）

由已知等式 得 ．

記 ，則 ．

假設 ．

①若 ，則 ，所以 在 上為單調增函數．

又 ，所以 ，與 矛盾．

②若 ，記 ，則 ．

令 ，解得 ．

當 時， ， 在 上為單調增函數；

當 時， ， 在 上為單調減函數．

所以 ，所以 ，

所以 在 上為單調增函數．

又 ，所以 ，與 矛盾．

綜合①②，假設不成立，所以 ．

（3）

由 得 ．

記 ， ，

則 ．

①當 時，因為 ， ，所以 ，

所以 在 上為單調增函數，所以 ，

故原不等式恒成立．

法一：

②當 時，由（2）知 ， ，

當 時， ， 為單調減函數，

所以 ，不合題意．

法二：

②當 時，一方面 ．

另一方面， ， ．

所以 ，使 ，又 在 上為單調減函數，

所以當 時， ，故 在 上為單調減函數，

所以 ，不合題意．

綜上， ．

【解析】（1.）利用積函數的導函數法則求出導函數再將x=1代入求出斜率求出切線方程。
（2.）假設 ，將 整理為 ，求導又單調性判斷是否在不同點存在相同的y值
（3.）對 求導然后分 、 兩種情況討論。
【考點精析】本題主要考查了復合函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”才能正確解答此題．