Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若為的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記，則，分析的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）依題意可得，記，則.

再令，則，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，即可得到在有零點(diǎn)，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，再對(duì)分類討論可得；

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

記，則，

當(dāng)時(shí)，，，

所以，在單調(diào)遞增，

所以，

因?yàn)?/span>，所以在為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，，所以，

所以在為減函數(shù).

綜上所述，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.·

（2）由題意可得，.

記，則.

再令，則.

下面證明在有零點(diǎn)：

令，則在是增函數(shù)，所以.

又，，

所以存在，，且當(dāng)，，，，

所以，即在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

又，，所以，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在，

所以當(dāng)，，

又，，

所以，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以.

①當(dāng)，，恒成立，所以，即為增函數(shù)，

又，所以當(dāng)，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，是的極小值點(diǎn)，所以滿足題意.

②當(dāng)，，令，

因?yàn)?/span>，所以，

故在單調(diào)遞增，故，即有

故，

又在單調(diào)遞增，

由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一實(shí)數(shù)，，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，即遞減，

所以，

此時(shí)在為減函數(shù)，所以，不合題意，應(yīng)舍去.

綜上所述，的取值范圍是.