Question

【題目】如圖，為坐標原點，橢圓的左，右焦點分別為，離心率為，雙曲線的左，右焦點分別為，，離心率為，已知，．

（1）求，的方程；

（2）過作的不垂直于軸的弦，為弦的中點，當直線與交于，兩點時，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

(1)由可推出,從而,,因此,推出,,從而得到的方程;

(2)設直線的方程為,聯立,利用韋達定理和中點坐標公式求出,從而得到直線的方程為,再聯立,由韋達定理和弦長公式求出,再利用點到直線的距離公式求出到直線的距離以及到直線的距離,進而得到四邊形的面積的最小值.

(1)∵,∴,

∴,即,

∴,,

∴,

∴,,

∴的方程為,的方程為.

(2)依題意,直線的方程可設為,設,,

由消去可得,

∴,,

∴,

∴中點坐標為,

∴直線的方程為,

由消去,可得,

∴且,,

∴,

設到直線的距離為,則到直線的距離也為,

∴,

∵,

∴,

又∵,

∴,

∴四邊形的面積,

∴當時,取得最小值,且,即四邊形面積的最小值為.