Question

【題目】在四棱錐中，底面為正方形， 底面， 為棱的中點．

（1）證明： ；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若為中點，棱上是否存在一點，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）根據條件可證明平面，再根據線面垂直的性質即可求解；（2）建立空間直角坐標系后求得平面的一個法向量后即可求解；（3）設，利用空間向量建立關于的方程即可求解．

試題解析：（1）因為底面， 所以，因為，所以平面，由于平面，所以有；（2）依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖）， 不妨設，可得， ， ， ，由為棱的中點，得， ， 向量，，設為平面的法向量，則，即，不妨令，可得為平面的一個法向量．所以所以，直線與平面所成角的正弦值為；（3）向量， ， ．由點在棱上，設，故，由，得， 因此，解得，所以．