Question

【題目】如圖：設一正方形紙片ABCD邊長為2分米，切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，剩余為一個正方形和四個全等的等腰三角形，沿虛線折起，恰好能做成一個正四棱錐（粘接損耗不計），圖中，O為正四棱錐底面中心．

（Ⅰ）若正四棱錐的棱長都相等，求這個正四棱錐的體積Ｖ；

（Ⅱ）設等腰三角形APQ的底角為x，試把正四棱錐的側面積S表示為x的函數(shù)，并求S的范圍．

Answer 1

【答案】（1）立方分米（2）平方分米

【解析】試題分析: （I）若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形ABCD中，三角形APQ為等邊三角形，由此先計算出此正四棱錐的棱長，再利用正棱錐的性質計算其體積即可；

（II）先利用等腰三角形APQ的底角為x的特點，將側棱長和底邊長分別表示為x的函數(shù)，再利用棱錐的體積計算公式將棱錐體積表示為關于x的函數(shù)，最后可利用均值定理求函數(shù)的值域

試題解析：

（Ⅰ）設正四棱錐底面邊長為y分米，由條件知△APQ為等邊三角形，

又，∴．

∵，∴．

由，即得．

∴ .

答：這個正四棱錐的體積是立方分米

（Ⅱ）設正四棱錐底面邊長為y，則．

由，即得．

∴即為所求表達式．

∵，∴，

令，則，

由對恒成立知函數(shù)在上為減函數(shù)．

（或者分子、分母同時除以，利用“對勾函數(shù)”進行說明）

∴平方分米即為所求側面積的范圍．