Question

【題目】已知函數.

（1）若是的單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（2）當時，求證：函數有最小值，并求函數最小值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）函數單調遞增等價于導函數，再利用變量分離轉化為求對應函數最值問題： 的最大值，最后根據導數求對應函數最值，即得實數的取值范圍；(2)實質證明函數 當時先減后增，也即函數有極小值點，并在此極小值點處取最小值，此時要用零點存在定理說明極值點存在.求出函數極小值表達式，即最小值表達式，利用導數研究最小值表達式單調性，并根據極小值點范圍確定最小值取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）

∵函數在區間上單調遞增，

. ∴，∴，

令， ，

∴，∴.

（Ⅱ） ∴

∴

∴， ， ，

，

，∴．

由（Ⅰ）知在上單調遞減，

，且，∴．

∴，

，

∴， ,

∴的最小值的取值范圍是．