Question

【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分別是BC，AE，D1C的中點，AD=AA1 ， AB=2AD． （Ⅰ）證明：MN∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直線AD與平面DMN所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以D為原點，以DA，DC，DD1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz， 設(shè)AD=1，則A（1，0，0），B（1，2，0），E（ ，2，0），
C（0，2，0），D1（0，0，1），
∵M(jìn)，N分別是AE，CD1的中點，∴M（ ，1，0），N（0，1， ），
∴ =（﹣ ，0， ）， =（0，2，0）．
∵AB⊥平面ADD1A1 ， ∴ 是平面ADD1A1的一個法向量，
∵ =0，MN平面ADD1A1 ，
∴MN∥平面ADD1A1 ．
（II） =（ ，1，0）， =（1，0，0），設(shè)平面DMN的法向量為 =（x，y，z），
則 ，即 ，令z=1得 =（ ，﹣ ，1），
∴ = ，
∴cos＜ ＞= = ．
∴sinθ= ．

【解析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=1，求出 和平面ADD1A1的法向量 的坐標(biāo)，直線利用數(shù)量積證明AB⊥MN即可；（II）求出平面DMN的法向量 和 的坐標(biāo)，則sinθ=|cos＜ ＞|．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．