Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，左焦點為F（﹣1，0），過點D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求k的取值范圍；
（3）在y軸上，是否存在定點E，使 恒為定值？若存在，求出E點的坐標和這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：

（2）解：

所以k的取值范圍是：

（3）解：設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=﹣

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4

=﹣ ，

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）

=k（x1+x2）+4

=

設存在點E（0，m），則 ，

所以

=

=

要使得 =t（t為常數），

只要 =t，

從而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0

即

由（1）得 t=m2﹣1，

代入（2）解得m= ，從而t= ，

故存在定點 ，使 恒為定值

【解析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有兩個不等的實數解的條件；（3）利用設而不求的方法，設出要求的常數，并利用多項式的恒等條件（相同次項的系數相等）