Question

【題目】已知函數 ，x R其中a>0.

（Ⅰ）求函數f(x)的單調區間；

（Ⅱ）若函數f(x)在區間(-3,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當a=1時，設函數f(x)在區間[t,t+3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t),記 ,求函數g(t)在區間[-4,-1]上的最小值.

Answer 1

【答案】(1)增區間：和；減區間：；(2)；(3).

【解析】

試題（1）先求出函數的導函數，由，得出函數的極值點，進而列出表格，寫出函數的單調增、減區間即可；（2）結合（1）中所求，得出判斷：在內單調遞增，在內單調遞減，進而得出函數在內恰有兩個零點的條件，從中求解即可得出的取值范圍；（3）根據及（1）中的結果，作出判斷在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增，然后分、、三種情況進行確定函數的最大值與最小值，進而確定在各段的最小值，最后比較這三段的最小值，即可得出所求的最小值.

試題解析：（1）1分

時，或

		0		0

函數單調增區間為，；減區間為4分

（2）由（1）知在內單調遞增，在內單調遞減

所以函數在內恰有兩個零點當且僅當

解得，的取值范圍是8分

（3），由（1）知：在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增

①當

②，在單調遞增，在單調遞減..最小值是與的較小者

，

，在遞減，最小值為

①②可以合并11分

③，

最大值為與較大者，最小值為與較小者

在，上單調遞增

而

，，

綜上，函數在上的最小值為13分.