Question

【題目】已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形.

（1）為中點，在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）.

【解析】試題分析：如圖建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，（1）求出平面的法向量，設，根據，求出即可；（2）求出平面的一個法向量，求出法向量夾角的余弦值即可.

試題解析：如圖，

建立空間直角坐標系，則由該幾何體的三視圖可知：

.

（1）設平面的法向量，

∵，

∴，

∴令，可解得平面的一個法向量，

設，由于，則，

又∵平面，

∴，即，

∴在線段上存在一點，使得平面，此時；

（2）設平面的法向量，

∵，

∴

∴令，可解得平面的一個法向量，

∴.

由圖可知，所求二面角為銳角，即二面角余弦值為.