Question

【題目】如圖，直線和拋物線相交于不同兩點A，B.

（I）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）設AB的中點為M，拋物線C的焦點為F．以MF為直徑的圓與直線l相交于另一點N，且滿足，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）

【解析】

（I）把直線方程與拋物線方程聯立，消去得到一個一元二次方程，只要判別式大于零即可，解不等式求出實數的取值范圍；

（Ⅱ）方法1：由，根據直徑所對的圓周角是直角，可得，

設，根據（I）中得到一元二次方程，利用根與系數的關系，可以求出M的坐標，再求出點N的坐標，分別求出的長度，最后利用

可以求出的值，最后求出直線方程；

方法2：由，根據直徑所對的圓周角是直角，可得，結合方法1，可以求出的值，最后求出直線方程；

方法3：設直線l的方向向量為，求出平面向量的加法法則，可以求出,求出、的長度，最后利用可以求出的值，最后求出直線方程.

解：（I）由，消去得，，

解得或．故

（Ⅱ）方法1：等價于.

設，

則，，

所以，

即．

又直線，與聯立，

解得，所以，

.

又，則由，

得，解得，

所以直線的方程為.

方法2：等價于，，

由方法1中，，

．

所以，即，

化簡得，得，.

所以直線l的方程為.

方法3：設直線l的方向向量為，

，

則，

又，

由，得，，

所以直線l的方程為.