Question

【題目】已知， .

（Ⅰ）求函數圖象恒過的定點坐標；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，證明： 存在唯一的極小值點，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ)因為要使參數對函數值不發生影響，所以必須保證，據此可得函數的圖象恒過點.

(Ⅱ)原問題等價于恒成立.構造函數，分類討論有：

①若時， 不能恒成立.

②若時， 在時為極小值點， ，滿足題意時只需.討論可得要使函數成立，只有在時成立.

(Ⅲ)結合(Ⅱ)的結論有，構造函數，結合函數的性質可得一定有2個零點，分別為的一個極大值點和一個極小值點，則函數在區間上存在一個極值點，所以最小極值點在內.據此整理計算可得.

試題解析：

（Ⅰ）因為要使參數對函數值不發生影響，所以必須保證，

此時，所以函數的圖象恒過點.

（Ⅱ）依題意得： 恒成立，∴恒成立.

構造函數，

則恒過， ，

①若時， ，∴在上遞增，

∴不能恒成立.

②若時， ，∴.

∵時， ，函數單調遞減；

時， ，函數單調遞增，

∴在時為極小值點， ，

∴要使恒成立，只需.

設，則函數恒過，

，

， ，函數單調遞增；

， ，函數單調遞減，

∴在取得極大值0，

∴要使函數成立，只有在時成立.

（Ⅲ），設

，令，

∴在單調遞減，在單調遞增，

在處取得極小值

可得一定有2個零點，分別為的一個極大值點和一個極小值點

設為函數的極小值點，則，∴， ，

因為，因為，

所以在區間上存在一個極值點，所以最小極值點在內.

∵函數的極小值點的橫坐標，

∴函數的極小值，∴.