Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分別是AB、BC的中點，證明A1、C1、F、E四點共面，并求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：由中位線的性質和長方體的性質可得，平行的兩直線必定共面，所以可以證明， ， 四點共面；建立空間直角坐標系，寫出上兩相交向量及的坐標，設平面的法向量的坐標，根據法向量與平面內任意向量的內積為求出法向量，從而可以求出法向量與的余弦值，該余弦值的絕對值即為與平面所成角的正弦值。

解析：連接AC，因為E，F分別是AB，BC的中點，所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC．由長方體的性質知AC∥A1C1，

所以EF∥A1C1，

所以A1、C1、F、E四點共面．

以D為坐標原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，易求得

，

設平面A1C1EF的法向量為

則，所以，即，

z=1，得x=1，y=1，所以，

所以=，

所以直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．