Question

【題目】在三棱柱ABCA1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=3，AA1=3 ，D為AA1的中點，BD與AB1交于點O，CO⊥側面ABB1A1 ． （Ⅰ）證明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A1﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：由題意tan∠ABD= = ，tan∠AB1B= = ， ∵0＜∠ABD＜ ，0＜∠AB1B＜ ，∴∠ABD=∠AB1B，
∴∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，則AB1⊥BD．
又CO⊥側面ABB1A1 ， AB1⊥CO．
又BD與CO交于點O，AB1⊥平面CBD，
又BC平面CBD，BC⊥AB1；
（Ⅱ）解：如圖，以O為原點，分別以OD，OB1 ， OC所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，
則 ，B（ ，0，0），C（0，0， ），B1（ ），
∴ ， ， ．
設平面ABC的法向量為 =（x，y，z），
則 ，令x=1，可得 =（1， ，﹣ ）是平面ABC的一個法向量．
設平面A1AC的法向量為 =（x，y，z），
則 ，令x=2，可得 =（2，﹣ ， ）是平面A1AC的一法向量．
設二面角A1﹣AC﹣B的平面角為α，則cosα=|cos＜ ＞|=| |= = ．
二面角A1﹣AC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意求得∠ABD=∠AB1B，且∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，則AB1⊥BD．再由CO⊥側面ABB1A1 ， 得AB1⊥CO．結合線面垂直的判定可得AB1⊥平面CBD，進一步得到BC⊥AB1； （Ⅱ）以O為原點，分別以OD，OB1 ， OC所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，求出相應點的坐標，再求得平面ABC及平面A1AC的法向量，由兩個法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣AC﹣B的平面角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．