Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，為橢圓短軸的一個端點，、為橢圓的左、右焦點，線段的延長線與橢圓相交于點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于點，的延長線與橢圓交于點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據橢圓短軸頂點求得；結合，求得點的坐標，根據點的坐標滿足橢圓方程，結合，求得，則橢圓方程即可求解；

（2）根據直線斜率是否存在，進行分類討論；當直線斜率存在時，設出直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理，求得弦長，求得到直線的距離，即可求得到直線的距離，利用面積公式，結合均值不等式，即可容易求得面積的最值.

（1）設橢圓的方程為，右焦點，

因為為橢圓短軸的一個端點，則.

因為，

故可得，設點坐標為，

即，解得.

則點.

因為點在橢圓上，則，即.

又，則，得，

所以橢圓的標準方程是.

（2）①當直線的斜率不存在時，不

妨取，，，

故；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

，，

聯立方程，化簡得，

則，

，，

，

點到直線的距離，

因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，

∴，

∵，又，所以等號不成立.

∴，

綜上可得，面積的最大值為.