Question

【題目】如圖所示的空間幾何體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形， 平面， ， ， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（I）連接交于點(diǎn)，根據(jù)正方形的對(duì)角線有 ，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，得，連接，利用平行證得，而，所以平面，所以平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面與平面的法向量，并由此計(jì)算二面角的余弦值.

試題解析：

（1）證明：連接交于點(diǎn)，則

設(shè)， 的中點(diǎn)分別為， ，連接，則∥，

連接， ，則∥且 ，所以∥，所以∥

由于平面，所以

所以， ，所以平面

所以平面平面

（2）解法一：∵∥，∴∥

∴平面與平面所成的銳二面角即為平面與平面所成的銳二面角

連接，∵平面， ∴

∴為平面與平面所成二面角的一個(gè)平面角

∵， ∴

∴

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

解法二：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，

依題意為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

即令，

則，所以

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為