Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，設(shè)，，且，．
（1）設(shè)，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求集合．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，（2）（）．

解析試題分析：（1）數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，實(shí)際就是證明為常數(shù)，首先列出的關(guān)系式，由知消去參數(shù)由，所以①，當(dāng)時(shí)， ②，①-②，得即，，化簡(jiǎn)得或（）．因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以．所以（）．
（2）由（1）知，所以，即．由，得，又時(shí)，，所以數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始依次遞減．當(dāng)時(shí)，若，則，與矛盾，所以時(shí)，，即．令，則，所以，即存在滿足題設(shè)的數(shù)組（）．當(dāng)時(shí)，若，則不存在；若，則；若時(shí)，，（*）式不成立．
【解】（1）當(dāng)時(shí)，，
即，解得．                             2分
由，所以 ①    
當(dāng)時(shí)， ②
①-②，得（），           4分
即，
即，所以，
因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以．
所以（）．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b1/e/1zggo3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．                                   6分
（2）由（1）知，所以，即