Question

【題目】已知數列{an}滿足 an≤an+1≤3an ， n∈N* ， a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范圍；
（2）設{an}是公比為q的等比數列，Sn=a1+a2+…an ， 若 Sn≤Sn+1≤3Sn ， n∈N* ， 求q的取值范圍．
（3）若a1 ， a2 ， …ak成等差數列，且a1+a2+…ak=1000，求正整數k的最大值，以及k取最大值時相應數列a1 ， a2 ， …ak的公差．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意： ，

∴ ；又

∴3≤x≤27，

綜上可得：3≤x≤6

（2）解：由已知得， ， ，

∴ ，

當q=1時，Sn=n， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，成立．

當1＜q≤3時， ， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，

∴

不等式

∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，

得q2﹣3q+2≤0，

解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q﹣3＜0，

∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，

∴1＜q≤2，

當 時，

， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，

∴此不等式即 ，

3q﹣1＞0，q﹣3＜0，

3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，

qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0

∴ 時，不等式恒成立，

上，q的取值范圍為：

（3）解：設a1，a2，…ak的公差為d．由 ，且a1=1，

得

即

當n=1時，﹣ ≤d≤2；

當n=2，3，…，k﹣1時，由 ，得d≥ ，

所以d≥ ，

所以1000=k ，即k2﹣2000k+1000≤0，

得k≤1999

所以k的最大值為1999，k=1999時，a1，a2，…ak的公差為﹣

【解析】（1）依題意： ，又 將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項： ，由 求出 ，對q分類討論求出Sn分別代入不等式 Sn≤Sn+1≤3Sn ， 得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a1 ， a2 ， …ak的公差．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對等比數列的基本性質的理解，了解{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列．