Question

【題目】已知數列{an}滿足an+1=a ﹣nan+1，且a1=2．
（1）計算a2 ， a3 ， a4的值，由此猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明；
（2）求證：2nn≤a ＜3nn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知an+1=a ﹣nan+1，且a1=2．得到a2= ﹣a1+1=3，a3= ﹣2a2+1=4，a4= ﹣3a3+1=5；

由此猜測數列{an}的通項公式為an=n+1；

證明：①n=1，2，3，4顯然成立；

②假設n=k時成立，即ak=k+1，則n=k+1時，ak+1= ﹣kak+1=（k+1）2﹣k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1；

所以n=k+1時，數列an=n+1也成立；

所以數列{an}的通項公式an=n+1對任意n∈N+都成立

（2）解：因為an=n+1，所以 =（n+1）n= ＞ =2nn；

構造函數f（x）=（1+ ）x，則f′（x）=（1+ ）xln（1+ ）（﹣ ）＜0，所以函數f（x）為減函數，又x≥1，所以f（x）≤f（1）=2＜3，所以 = ＜3，

即（n+1）n＜3nn；

所以2nn≤a ＜3nn

【解析】（1）由an+1=a ﹣nan+1，且a1=2，分別令 n=2，3，4即可求解，進而可猜想，然后利用數學歸納法進行證明即可；（2）由（1）可得an=n+1，從而有 =（n+1）n ， 利用二項式定理展開式以及構造函數，利用單調性證明．
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式和數學歸納法的定義，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法即可以解答此題．