Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，點E，F(xiàn)分別在棱BB1 ， CC1上，且C1F= C1C，BE=λBB1 ， 0＜λ＜1．

（1）當(dāng)λ= 時，求異面直線AE與A1F所成角的大小；
（2）當(dāng)直線AA1與平面AEF所成角的正弦值為 時，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．

因為AB=AC=1，AA1=3， ，

所以各點的坐標(biāo)為A（0，0，0），E（1，0，1），A1（0，0，3），

F（0，1，2）． ， ．因為 ， ，

所以 ．所以向量 和 所成的角為120°，

所以異面直線AE與A1F所成角為60°．

（2）解：因為E（1，0，3λ），F(xiàn)（0，1，2），所以 ．

設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），

則 ，且 ．

即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，則x=﹣3λ，y=﹣2．

所以 =（﹣3λ，﹣2，1）是平面AEF的一個法向量．

又 ，則 ，

又因為直線AA1與平面AEF所成角的正弦值為 ，

所以 = ，解得，

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．（1）推出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出向量 和 對應(yīng)的向量，利用向量的數(shù)量積求出夾角即可．（2）求出平面AEF的法向量， ，利用向量的數(shù)量積求解直線AA1與平面AEF所成角的正弦值為 ，得到 ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．