Question

【題目】已知公差大于0的等差數列的前n項和為，且滿足，.

（1）求數列的通項公式；

（2）若，求的表達式；

（3）若，存在非零常數，使得數列是等差數列，存在，不等式成立，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）根據數列的基本量，結合下標和性質，列出方程，求得首項和公差，則問題得解；

（2）討論的正負，分類討論，即可求得；

（3）根據（1）中所求可得，根據其為等差數列，求得，將問題轉化為存在性問題，即可求得的取值范圍.

（1）因為數列是等差數列，故可得，

結合，容易得或，

因為，故可得，則，

解得，，故.

故.

（2）根據（1）中所求，令，解得，

故數列的前項均為負數，從第8項開始都為正數.

當時，；

當時，

.

綜上所述：.

（3）由（1）中所求，可知，

故可得，因為存在非零常數，使得其為等差數列，

故可得，即，

整理得，解得，舍去.

故.

則存在，不等式成立

等價于存在，不等式成立.

則只需，

根據對勾函數的單調性，且當時，；

當時，，

故的最小值為.

則即可.