【題目】設函數
，
，
.
（1）若對任意
，
恒成立，求
的取值范圍；
（2）
，討論函數
的單調性.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）將對任意
，
恒成立，轉化為對任意， 
恒成立，令
，由函數
在區間
上單調遞減，只需證
恒成立即可.
（2）得到
，求導
，再分
，
， 
， 
，
五種情況討論求解.
（1）因為，，即
，
即，
令，
因為函數在區間上單調遞減，
所以
恒成立，
即
在區間上恒成立，
故.
（2），
，
當時，
，
，
，
遞增，
，
，遞減，
當時，
，
，，遞增，，，遞減，
當時，
，的單調遞增區間為
，
當時，
，
或
；
，當
變化，
，變化如下表
|
|
|
| 1 |
|
| 正 | 零 | 負 | 零 | 正 |
| 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
即單調增區間為
，，減區間為
.
當時，，或；
，當變化，，變化如下表
|
| 1 |
|
|
|
| 正 | 零 | 負 | 零 | 正 |
| 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
即單調增區間為
，
，減區間為
.
綜上：當
時，單調增區間為，減區間為，
當時，單調增區間為，，減區間為，
當時，的單調遞增區間為，
當時，單調增區間為，，減區間為.
輕松暑假總復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】未了解人們對“延遲退休年齡政策”的態度，某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機調查了100人，將這100人的年齡數據分成5組：
，
，
，
，
，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
在這100人中不支持“延遲退休”的人數與年齡的統計結果如下：
年齡 |
|
|
|
|
|
不支持“延遲退休”的人數 | 15 | 5 | 15 | 23 | 17 |
（1）由頻率分布直方圖，估計這100人年齡的平均數；
（2）由頻率分布直方圖，若在年齡，，的三組內用分層抽樣的方法抽取12人做問卷調查，求年齡在組內抽取的人數；
（3）根據以上統計數據填寫下面的
列聯表，據此表，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態度存在差異？
\ | 45歲以下 | 45歲以上 | 總計 |
不支持 | |||
支持 | |||
總計 |
附：
，其中
.
參考數據：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，直線
的方程為
，曲線
：
（
為參數，
），在以原點
為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
：
.
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線有公共點，且直線與曲線的交點
恰好在曲線與軸圍成的區域（不含邊界）內，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查某地區70歲以上老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣的方法從該地區調查了100位70歲以上老人，結果如下：
男 | 女 | |
需要 | 18 | 5 |
不需要 | 32 | 45 |
（1）估計該地區70歲以上老人中，男、女需要志愿者提供幫助的比例各是多少？
（2）能否有
的把握認為該地區70歲以上的老人是否需要志愿者提供幫助與性別有關；
（3）根據（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區70歲以上老人中，需要志愿者提供幫助的老人的比例？說明理由.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：
第一種生產方式 | 第二種生產方式 | |||||||||||||||||||
8 | 6 | 5 | 5 | 6 | 8 | 9 | ||||||||||||||
9 | 7 | 6 | 2 | 7 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 8 | ||||||
9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 8 | 1 | 4 | 4 | 5 | ||||||
2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 9 | 0 | ||||||||||||||
（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；
（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：
超過m | 不超過m | 總計 | |
第一種生產方式 | |||
第二種生產方式 | |||
總計 |
（3）根據（2）中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？
附：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班隨機抽查了
名學生的數學成績，分數制成如圖的莖葉圖，其中
組學生每天學習數學時間不足
個小時，
組學生每天學習數學時間達到一個小時，學校規定
分及分以上記為優秀，
分及分以上記為達標，分以下記為未達標.
（1）根據莖葉圖完成下面的列聯表：
達標 | 未達標 | 總計 | |
| |||
| |||
總計 |
（2）判斷是否有
的把握認為“數學成績達標與否”與“每天學習數學時間能否達到一小時”有關.
參考公式與臨界值表：
，其中
.
|
|
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|
|
|
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知公差大于0的等差數列
的前n項和為
，且滿足
，
.
（1）求數列的通項公式
；
（2）若
，求
的表達式；
（3）若
，存在非零常數
，使得數列
是等差數列，存在
，不等式
成立，求k的取值范圍.
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