【題目】已知函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）若對任意
，函數的圖像不在
軸上方，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）對函數求導，分當
時和當
時，討論導函數的正負，進而得到單調區間；（2）原式子等價于對任意
，都有
恒成立，即在
上
，按照第一問分的情況，繼續討論導函數的正負得到原函數的單調性，進而得到函數的最值，得到結果.
（1）函數
的定義域為，
.
當時，
恒成立，函數的單調遞增區間為.
當時，由
，得
或
（舍去），
則由，得
，由
，得
，
所以的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
.
（2）對任意，函數的圖像不在
軸上方，等價于對任意，都有恒成立，即在上.
由（1）知，當時，在上是增函數，
又
，不合題意；
當時，在處取得極大值也是最大值，
所以
.
令
，所以
.
在
上，
，
是減函數.
又
，所以要使得，須
，即
.
故
的取值范圍為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】未了解人們對“延遲退休年齡政策”的態度，某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機調查了100人，將這100人的年齡數據分成5組：
，
，
，
，
，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
在這100人中不支持“延遲退休”的人數與年齡的統計結果如下：
年齡 |
|
|
|
|
|
不支持“延遲退休”的人數 | 15 | 5 | 15 | 23 | 17 |
（1）由頻率分布直方圖，估計這100人年齡的平均數；
（2）由頻率分布直方圖，若在年齡，，的三組內用分層抽樣的方法抽取12人做問卷調查，求年齡在組內抽取的人數；
（3）根據以上統計數據填寫下面的
列聯表，據此表，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的不支持態度存在差異？
\ | 45歲以下 | 45歲以上 | 總計 |
不支持 | |||
支持 | |||
總計 |
附：
，其中
.
參考數據：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：
第一種生產方式 | 第二種生產方式 | |||||||||||||||||||
8 | 6 | 5 | 5 | 6 | 8 | 9 | ||||||||||||||
9 | 7 | 6 | 2 | 7 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 8 | ||||||
9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 8 | 1 | 4 | 4 | 5 | ||||||
2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 9 | 0 | ||||||||||||||
（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；
（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：
超過m | 不超過m | 總計 | |
第一種生產方式 | |||
第二種生產方式 | |||
總計 |
（3）根據（2）中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？
附：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班隨機抽查了
名學生的數學成績，分數制成如圖的莖葉圖，其中
組學生每天學習數學時間不足
個小時，
組學生每天學習數學時間達到一個小時，學校規定
分及分以上記為優秀，
分及分以上記為達標，分以下記為未達標.
（1）根據莖葉圖完成下面的列聯表：
達標 | 未達標 | 總計 | |
| |||
| |||
總計 |
（2）判斷是否有
的把握認為“數學成績達標與否”與“每天學習數學時間能否達到一小時”有關.
參考公式與臨界值表：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新冠狀病毒嚴重威脅著人們的身體健康，我國某醫療機構為了調查新冠狀病毒對我國公民的感染程度，選了某小區的
位居民調查結果統計如下：
感染 | 不感染 | 合計 | |
年齡不大于 |
| ||
年齡大于 |
| ||
合計 |
|
|
（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；
（2）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為感染新冠狀病與不同年齡有關？
（3）已知在被調查的年齡大于
歲的感染者中有
名女性，其中
位是女教師，現從這名女性中隨機抽取
人，求至多有
位教師的概率．
附：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某外語學校的一個社團有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現選派3人到法國的學校交流訪問.求：
（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；
（2）求在選派的3人中既會法語又會英語的人數
的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的極坐標方程為
，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為
軸的正半軸，建立平面直角坐標系
.
（1）若曲線
：
（t為參數）與曲線相交于兩點
，
，求
；
（2）若
是曲線上的動點，且點的直角坐標為
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知公差大于0的等差數列
的前n項和為
，且滿足
，
.
（1）求數列的通項公式
；
（2）若
，求
的表達式；
（3）若
，存在非零常數
，使得數列
是等差數列，存在
，不等式
成立，求k的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近幾年出現各種食品問題，食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關，醫院隨機對入院的60人進行了問卷調查，得到了如圖的列聯表：
患三高疾病 | 不患三高疾病 | 合計 | |
男 | 6 | 30 | |
女 | |||
合計 | 36 |
（1）請將如圖的列聯表補充完整；若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽
人，其中女性抽多少人？
（2）為了研究三高疾病是否與性別有關，請計算出統計量
，并說明你有多大的把握認為三高疾病與性別有關？
下面的臨界值表供參考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式
，其中
）
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