Question

【題目】在△ABC中，內角A、B、C對應的邊長分別為a、b、c．已知acosB﹣ b= ﹣ ．
（1）求角A；
（2）若a= ，求b+c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：在△ABC中，∵acosB﹣ b= ﹣ ，由正弦定理可得：acosB﹣ b= ﹣ ，

∴由余弦定理可得：a× ﹣ b= ﹣ ，整理可得：a2=c2+b2﹣bc，

∴cosA= = ，

∵A∈（0，π），

∴A= ．

（2）解：∵由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，則3=b2+c2﹣bc，

∴（b+c）2﹣3bc=3，

即3bc=（b+c）2﹣3≤3[ （b+c）]2，

化簡得，（b+c）2≤12（當且僅當b=c時取等號），

則b+c≤2 ，

又∵b+c＞a= ，

綜上得，b+c的取值范圍是（ ，2 ]

【解析】（1）由余弦定理化簡已知可得a2=c2+b2﹣bc，根據余弦定理可求cosA= ，結合范圍A∈（0，π），即可解得A的值．（2）通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關系求出b+c的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:．