Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2C﹣3cos（A+B）=1
（1）求角C的大小；
（2）若c= ，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由cos2C﹣3cos（A+B）=1和A+B=π﹣C得，

2cos2C+3cosC﹣2=0，則（2cosC﹣1）（cosC+2）=0

解得cosC= 或cosC=﹣2（舍去），

因為0＜C＜π，所以C= ；

（2）解：方法1：由（1）得，A+B= ，則B= ﹣A，

由 得， ，

則a= ，b= ，…（8分）

則a+b= + = +

= +2 （ ）=

=

∵ ，∴ ，

則 ，即a+b= ≤ ，

綜上：a+b+c≤ ，即△ABC周長的最大值是 ．

法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，

則6=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab…（8分）

即6≥ =

解得（a+b）2≤24，則a+b≤ （當且僅當a=b= 時取到等號）

綜上：a+b+c≤ ，即△ABC周長的最大值是 ．

【解析】（1）由內角和定理、誘導公式、二倍角余弦公式的變形化簡已知的等式，求出cosC的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出C的值；（2）方法1：由（1）和內角和定理表示出A、B的關系，由正弦定理求出a、b，代入a+b利用兩角和差的正弦公式化簡，由A的范圍和正弦函數的性質求出a+b的范圍，即可求出△ABC周長的最大值；方法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入數據結合完全平方公式化簡，利用基本不等式求出a+b的最大值，即可求出△ABC周長的最大值．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．