Question

【題目】設集合A={1,2,…,2016}.對于A的任一個1008元子集X,若存在x、y∈X,滿足x<y,x|y,則稱X為“好集”.求最大的正整數a(a∈A),使得任一個含a的1008元子集皆為好集。

Answer 1

【答案】671

【解析】

因為任何正整數n可以表為(a∈N,t為正奇數)的形式,所以,集合A可劃分為以下1008個子集:

,

其中,j=1,2,…,1008.對于集合A的任一個1008元子集X,只要集合X中含有某一個子集A中的至少兩個元素,則.此時,X為好集.

下面證明:正整數a的最大值為671.

當a=671時,對于集合A的任一個1008元子集X,若集合X中含有某個子集中的至少兩個元素,則X為好集;如果中的1008個集合,每個集合中恰有一個元素在集合X中,那么, 也有一個元素在集合X中,但為單元素集,于是,2013∈X.而a|2013(2013=671×3=3a),這表明,X仍為好集.因此,a=671符合要求.

當a≥672時,存在含a的集合X為好集.分兩種情形.

(1)若a≥1009,取1008元集,則

因為中任兩個不同元素x<y,均有,所以, 不為好集,這種不符合要求.

(2)若672≤a≤1008,記,

令.則,且.

若集合X中存在x<y,使得x|y,且,則.

當,如果,那么,只有或3x.

此時,y的取值只能是或.

注意到,1344=2(672+0),2016=2(672+336).

這表明,兩個數已被挖去,不在集合X中當x>672,假若x|y,只有y=2x,這種數y也已被挖去,即

因此,X不為好集,這種a也不符合要求.

綜上,a的最大值為671.