Question

【題目】如圖，已知，兩個城鎮相距20公里，設是中點，在的中垂線上有一高鐵站，的距離為10公里．為方便居民出行，在線段上任取一點（點與，不重合）建設交通樞紐，從高鐵站鋪設快速路到處，再鋪設快速路分別到，兩處．因地質條件等各種因素，其中快速路造價為3百萬元/公里，快速路造價為2百萬元/公里，快速路造價為4百萬元/公里， 設，總造價為（單位：百萬元）．

（1）求關于的函數關系式，并指出函數的定義域；

（2）求總造價的最小值，并求出此時的值．

Answer 1

【答案】（1），定義域；（2）最小值為（百萬元），此時．

【解析】

(1)根據題意有,,因此根據不同地段的造價即可列出關于的函數關系式,再求出定義域即可;

(2)根據(1)中結論可設,利用導數求出函數的單調性及其最大值,從而可得出結論.

(1)∵,,,

∴,,,

∴

，定義域；

(2)設,

則,

令,又,所以,

當,,單調遞減;

當,,單調遞增;

所以的最小值為,

所以的最小值為(百萬元),此時.