Question

【題目】四棱錐中，底面是的菱形，側面為正三角形，其所在平面垂直于底面.

（1）若為線段的中點，求證：平面；

（2）若為邊的中點，能否在棱上找到一點，使平面平面？并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（見解析；（2）見解析．

【解析】分析：（1）取的中點，利用等腰三角形的“三線合一”得到線線垂直，進而利用線面垂直的判定定理進行證明；（2）先利用面面垂直的性質得到線面垂直，進而得到面面垂直，再利用面面垂直的性質得到線線垂直，利用平行四邊形確定點的位置．

詳解：（1）如圖，取中點，連接，，，

∵ 為等邊三角形，∴ ，

在中，，，

∴ 為等邊三角形，∴ ，

∴ 平面.

（2）連接與相交于點，

在中，作，交于點，

∵ 平面平面，∴ 平面，

∴ 平面，

∴ 平面平面，

易知四邊形為平行四邊形，

∴ 是的中點，∴ 是的中點，

∴ 在上存在一點，即為的中點，使得平面平面.