Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設BM=x，x∈（0，1），給出以下四個命題：
①四邊形MENF為平行四邊形；
②若四邊形MENF面積s=f（x），x∈（0，1），則f（x）有最小值；
③若四棱錐A﹣MENF的體積V=p（x），x∈（0，1），則p（x）為常函數；
④若多面體ABCD﹣MENF的體積V=h（x），x∈（ ，1），則h（x）為單調函數；
其中假命題為 （ ）

A.①
B.②
C.③
D.④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，
同理：FN∥EM，
∴四邊形EMFN為平行四邊形，故正確；
②MENF的面積s=f（x）= （EF×MN），
當M為BB′的中點時，即x= 時，MN最短，此時面積最小．故正確；
③連結AF，AM，AN，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，

它們以AEF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．
因為三角形AEF的面積是個常數．
M，N到平面AEF的距離和是個常數，
所以四棱錐C'﹣MENF的體積V為常數函數，故正確．
④多面體ABCD﹣MENF的體積V=h（x）= VABCD﹣A′B′C′D′= 為常數函數，故錯誤；
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．