Question

【題目】已知橢圓，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是，且.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)3.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得，所以橢圓的方程為；

(2)由題意求得內(nèi)切圓的面積函數(shù)： ，換元之后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為3.

試題解析：

（1）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn) ，所以為又，所以.

又在橢圓 上，解得，所以橢圓的方程為.

（2）由（1）知，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為，則（為三角形的內(nèi)切圓半徑），當(dāng)面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積最大

設(shè)直線的方程為：

由得

所以

令，則，所以，而在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)， 面積的最大值為3