Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，側面為菱形，，，側面為正方形，平面平面.點為線段的中點，點在線段上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意易知和，根據面面垂直的性質定理可證，進而平面，再根據面面垂直的判定定理，即可證明結果；

（2）根據題意，設的中點為點，以點為坐標原，分別以向量，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量法即可求出結果.

（1）連接，，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形.而點為中點，所以.

又平面平面，

所以平面，所以.

而四邊形為正方形，所以.

而，所以.

又因為，所以平面.

又因為平面，所以平面平面.

（2）設的中點為點，以點為坐標原，分別以向量，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，

則有，，，.

，，

，所以.

又，，

所以.

設平面的法向量為，則，所以.

取，則，

.

設為直線與平面所成的角，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.