Question

求滿足下列條件的雙曲線方程
（1）兩焦點分別為F₁（-10，0），F₂（10，0），點P（8，0）在雙曲線上；
（2）已知雙曲線過A(3，-4

2

)，B(

9

4

，5)兩點．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，根據題意建立關于a、b的方程組，解之即可得到所求雙曲線的方程；
（2）由于雙曲線的焦點位置不確定，所以設雙曲線方程為mx²+ny²=1（mn＜0），代入A、B的坐標得到關于m、n的方程組，解出m、n的值，即可得到所求雙曲線的標準方程．

解答：解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
可得

c= a2+b2 =10 82 a2 - 02 b2 =1

，
解得a²=64且b²=36，
∴所求雙曲線的方程為

x2

64

-

y2

36

=1；
（2）設雙曲線方程為mx²+ny²=1（mn＜0），
∵雙曲線過A(3，-4

2

)，B(

9

4

，5)兩點
∴

m•32+n•(-4 2 )2=1 m•( 9 4 )2+n•52=1

，
解得

m=- 1 9 n= 1 16

，
因此，所求雙曲線的方程為-

1

9

x²+

1

16

y²=1，化為標準方程得

y2

16

-

x2

9

=1．

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的標準方程．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．