Question

【題目】已知函數，，．

（1）求函數的極值；

（2）直線為函數圖象的一條切線，若對任意的，都有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時沒有極值；當時，有極大值，極大值為；（2）.

【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，根據導數的正負，即可判斷函數的單調性，根據單調性求極值；

（2）設出切點為，利用導數幾何意義求得與之間的關系，將問題轉化為在對應區間滿足，即可求得參數范圍.

解：（1）∵，

∴函數的定義域為．

∵，

∴．

①當時，，在上為增函數，無極值；

②當時，由，得．

∵時，，為增函數，

時，，為減函數，

∴在定義域上有極大值，極大值為．

（2）設直線與函數圖象相切的切點為，則．

∵，∴．∴．∴．

又∵，

∴．∴．∴．

∴．

∵對任意的，都有成立，

∴只需

∵，

∴由，得．

∵，∴．

∴時，，為減函數，

時，，為增函數．

∴，即．

∵在上為減函數，

∴．

∴．

即．

設，易知在上為增函數．

又∵，

∴實數的取值范圍為．