Question

【題目】在三棱柱中，⊥底面，，，為線段上一點(diǎn)．

（Ⅰ）若，求與所成角的余弦值；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的大小；

（Ⅲ）若二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）1．

【解析】

（Ⅰ）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與所成角的余弦值；

（Ⅱ）設(shè)，由，得，從而，求出平面的法向量，由此能求出與平面所成角的大小．

（Ⅲ）求出平面的法向量和平面的法向量，利用同量法能求出當(dāng)二面角的大小為時，的值．

解：（Ⅰ）三棱柱中，⊥底面，

，，為線段上一點(diǎn)，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

∵，∴，

∴，，

設(shè)與所成角為，

則與所成角的余弦值為：，

（Ⅱ）設(shè)，由，

得，

解得：，

∴，

設(shè)與平面所成角為，

∵平面的法向量為，

∴，

∴與平面所成角的大小為30°．

（Ⅲ）設(shè)，

則，

而，

設(shè)平面的法向量，

則，即，

取，得，

平面的法向量，

∵二面角的大小為，

∴，

解得：，

則，即為的中點(diǎn)，

，即，

∴當(dāng)二面角的大小為時，．