Question

【題目】已知函數．

（1）判斷函數在區間上零點的個數，并說明理由．

（2）當時，

①比較與的大小關系，并說明理由；

②證明：．

Answer 1

【答案】（1）有唯一一個零點，理由詳見解析；（2）①，證明詳見解析；②證明見解析．

【解析】

（1）先對函數求導，然后結合導數可判斷函數的單調性，結合函數的性質可求函數的零點個數；

（2）①令，然后對其求導，結合導數可研究函數的單調性，進而由函數的取值范圍可比較大小；

②結合①的結論，利用分析法分析結論成立的條件，然后利用導數可求．

（1）因為，所以．

當時，，函數在上單調遞增，

所以，且，故在上無零點；

當時，，函數在上單調遞減，

又由，

故在區間上有唯一零點；

綜上，函數在區間上有唯一一個零點．

（2）①，證明過程如下：

設函數，則，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以函數在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，π）上單調遞增．

則函數在處取得極小值，亦即最小值，

即，

綜上可得，成立；

②要證：ln[f（x）]+1ecosxf（x）﹣cosx成立，

即證明ln（sinx﹣xcosx）（sinx﹣xcosx）ecosx﹣cosx﹣1成立，

因為f（x）在（0，π）上單調遞增，，

即sinx﹣xcosx＞0，所以（sinx﹣xcosx）ecosx＞0，

由①知，即有，

有（sinx﹣xcosx）ecosx≥1+ln[（sinx﹣xcosx）ecosx]成立，

當時，成立，

由成立，

此時能取等號，即有成立，

即成立.