Question

【題目】若函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數．

（）判斷下列函數：①；②；③中，哪些是等比源函數？（不需證明）

（）判斷函數是否為等比源函數，并證明你的結論．

（）證明： ， ，函數都是等比源函數．

Answer 1

【答案】（）①②③均為等比源函數．（）函數不是等比源函數（）見解析

【解析】試題分析：（1）直接舉例說明題目給出的三個函數都是“等比源函數”；（2）利用反證法思想，假設存在正整數， ， ，且，是， ， 成等比數列，推出矛盾，從而證明函數f（x）=2x+1不是等比源函數；（3）首先證明數列{g（n）}為等差數列，然后驗證g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]構成等比數列，從而說明結論的正確性．

試題解析：

（）①當取， ， 時， 得， ， 構成等比數列，∴是等比源函數．

②當取， ， 時， 得， ， 構成等比數列，∴是等比源函數．

③當取， ， 時， 得， ， 構成等比數列，∴是等比源函數．

綜上①②③均為等比源函數．

（）函數不是等比源函數，

證明如下：

假設存在正整數， ， ，且，是， ， 成等比數列，∴，

，∴，等式兩邊同除以，

∴，又∵， ，

∴等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，∴不可能成立，

故假設不成立，

∴不是等比源函數．

（）證明：∵， ，都有，

∴， ，數列都是以為首項，公差為的等差數列，

， ， ， ， 成等比數列，

∴，

，

，

∴， ， ，

∴， ，函數都是等比源函數．