Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，過任作一條與坐標軸都不垂直的直線，與交于兩點，且的周長為．當直線的斜率為時，與軸垂直

（1）求橢圓的方程

（2）若是該橢圓上位于第一象限的一點，過作圓的切線，切點為，求的值；

（3）設為定點，直線過點與軸交于點，且與橢圓交于兩點，設，，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據橢圓定義可求得；再利用斜率得到，利用的關系求得結果；（2）假設，利用兩點間距離公式表示出；再利用直角三角形求解出切線長，作差得到結果；（3）假設直線為和兩點坐標，利用向量關系表示出和，將直線代入橢圓方程，利用韋達定理表示出，整理得到結果.

（1）的周長為

根據橢圓定義可知：

當斜率為時：，，

可得：

橢圓的方程

（2）設，則

連接，由相切條件知：

（3）由題意可知直線的斜率存在且不為，設直線的方程為

令，可得，則

設，

由得，則

即

由，可得，即

將，代入橢圓中，可得：

由韋達定理得，